Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Как решить систему дифференциальных уравнений

Практическая ценность дифференциальных уравнений обусловливается тем, что, пользуясь ими, можно установить связь основным физическим или химическим законом и часто целой группой переменных, имеющих большое значение при исследовании технических вопросов.

Применение даже наиболее простого физического закона к процессу, протекающему при переменных условиях, может привести к весьма сложному соотношению между переменными величинами.

При решении физико-химических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, важно бывает найти общий интеграл уравнения, а также определить значения постоянных, входящих в этот интеграл, так, чтобы решение соответствовало данной задаче.

К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводит изучение процессов, в которых все искомые величины являются функциями лишь одной независимой переменной.

К дифференциальным уравнениям с частными производными могут приводить установившиеся процессы.

В большинстве случаев решение дифференциальных уравнений не приводит к нахождению интегралов, для решения таких уравнений приходится применять приближенные методы.

Системы дифференциальных уравнений используются при решении задачи кинетики.

Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод конечных разностей.

К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводятся задачи, в которых требуется найти соотношение между зависимой и независимой переменными в условиях, когда последние изменяются непрерывно. Решение задачи приводит к так называемым уравнениям в конечных разностях.

Область непрерывного изменения аргумента х заменяется множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной функцией. Замена дифференциального уравнения разностным уравнением называется его аппроксимацией на сетке. Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих исходное дифференциальное уравнение и дополнительные начальные условия, называется разностной схемой. Разностная схема называется устойчивой, если малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. Разностная схема называется корректной, если ее решение существует и единственно при любых входных данных, а так же если эта схема устойчива.

При решении задачи Коши требуется найти функцию у=у(х), удовлетворяющую уравнению:

и начальному условию: у = у 0 при х = х 0 .

Введем последовательность точек х 0 , х 1 , … х n и шаги h i =x i +1 –x i (i = 0, 1, …). В каждой точке x i вводятся числа y i , аппроксимирующие точное решение у. После замены в исходном уравнении производной отношением конечных разностей осуществляют переход от дифференциальной задачи к разностной:

y i+1 = F(x i , h i , y i+1 , y i , … y i-k+1),

где i = 0, 1, 2 …

При этом получается k – шаговый метод конечных разностей. В одношаговых методах для вычисления y i +1 используется лишь одно ранее найденное значение на предыдущем шаге y i , в многошаговых – несколько.

Простейшим одношаговым численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера.

y i+1 = y i + h · f(x i , y i).

Эта схема является разностной схемой первого порядка точности.

Если в уравнении у " =f(х,у) правую часть заменить на среднеарифметическое значение между f(x i ,y i) и f(x i+1 ,y i+1), т.е. , то получится неявная разностная схема метода Эйлера:

,

имеющая второй порядок точности.

Путем замены в данном уравнении y i+1 на y i +h · f(x i , y i) схема переходит в метод Эйлера с пересчетом, имеющий также второй порядок:

Среди разностных схем более высокого порядка точности распространенной является схема метода Рунге-Кутта четвертого порядка:

y i +1 = yi + (к 1 + 2к 2 + 2к 3 + к 4), i = 0, 1, …

к 1 = f(x i , y i)

к 2 = f(x i + , y i + )

к 3 = f(x i + , y i + )

к 4 = f(x i +h, y i +к 3).

Для повышения точности численного решения без существенного увеличения машинного времени используется метод Рунге. Суть его в проведении повторных расчетов по одной разностной схеме с различными шагами.

Уточненное решение строится с помощью проведенной серии расчетов. Если проведены две серии расчетов по схеме порядка к соответственно с шагами h и h/2 и получены значения сеточной функции y h и y h /2 , то уточненное значение сеточной функции в узлах сетки с шагом h вычисляется по формуле:

.

Приближенные вычисления

В физико-химических расчетах редко приходится пользоваться приемами и формулами, дающими точные решения. В большинстве случаев методы решения уравнений, приводящие к точным результатам, либо очень сложны, либо отсутствуют вообще. Обычно пользуются методами приближенного решения задач.

При решении физико-химических задач, связанных с химической кинетикой, с обработкой экспериментальных данных часто возникает необходимость решения различных уравнений. Точное решение некоторых уравнений представляет в ряде случаев большие трудности. В этих случаях можно воспользоваться способами приближенных решений, получая результаты с точностью, удовлетворяющей поставленной задаче. Существует несколько способов: метод касательных (метод Ньютона), метод линейной интерполяции, метод повторения (итерации) и др.

Пусть имеется уравнение f(x)=0, причем f(x) – непрерывная функция. Предположим, что можно подобрать такие значения a и b, при которых f(a) и f(b) имеют разные знаки, например f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Графическое нахождение корней уравнения. Для решения уравнения высших степеней удобно пользоваться графическим методом. Пусть дано уравнение:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

где a, b, … , p, q – заданные числа.

С геометрической точки зрения уравнение

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

представляет собой некоторую кривую. Можно найти любое число ее точек, вычисляя значения y, соответствующие произвольным значениям х. Каждая точка пересечения кривой с осью ОХ дает значение одного из корней данного уравнения. Поэтому нахождение корней уравнения сводится к определению точек пересечения соответствующей кривой с осью ОХ.

Способ итерации. Этот способ заключается в том, что подлежащее решению уравнение f(x)=0 преобразуют в новое уравнение x=j(x) и, задаваясь первым приближением х 1 , последовательно находят более точные приближения х 2 =j(x 1), х 3 =j(x 2) и.т.д. Решение может быть получено с любой степенью точности, при условии, что в интервале между первым приближением и корнем уравнения |j"(х)|<1.

Для решения одного нелинейного уравнения используются следующие методы:

а) метод половинного деления:

Интервал изоляции действительного корня всегда можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах какой из частей первоначального интервала функция f(x) меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Такой процесс проводится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки.

Выбираем интервал , в котором заключено решение. Рассчитываем f(a) и f(b), если f(a) > 0 и f(b) < 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) > 0 и f(с) > 0, то a = c и b = b. Иначе, если f(a) < 0 и f(c) > 0 или f(a) > 0 и f(с) < 0, то a = a и b = c.

Б) метод касательных (метод Ньютона):

Пусть действительный корень уравнения f(x) = 0 изолирован на отрезке . Возьмем на отрезке такое число х 0 , при котором f(x 0) имеет тот же знак, что и f ’ (x 0). Проведем в точке М 0 касательную к кривой y = f(x). За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox. Это приближенное значение корня найдется по формуле

Применив этот прием вторично в точке М 1 , получим

и т.д. Полученная таким образом последовательность х 0 , х 1 , х 2 , … имеет своим пределом искомый корень. В общем виде можно записать так:

.

Для решения линейных систем алгебраических уравнений используется итерационный метод Гаусса-Зайделя. К решению систем линейных уравнений сводятся такие задачи химической технологии, как расчет материальных и тепловых балансов.

Суть метода заключается в том, что путем несложных преобразований выражают неизвестные х 1 , х 2 , … , x n соответственно из уравнений 1,2, … , n. Задают начальные приближения неизвестных х 1 =х 1 (0) , x 2 =x 2 (0) , … , x n =x n (0) , подставляют эти значения в правую часть выражения х 1 и вычисляют х 1 (1) . Затем в правую часть выражения х 2 подставляют х 1 (1) , х 3 (0) , … , x n (0) и находят х 2 (1) и т.д. После расчета х 1 (1) , х 2 (1) , … , x n (1) проводят вторую итерацию. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока значения х 1 (к) , х 2 (к) , … не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х 1 (к-1) , х 2 (к-2) , … .

Такие задачи химической технологии, как расчет химического равновесия и др. сводятся к решению систем нелинейных уравнений. Для решения систем нелинейных уравнений также используют итерационные методы. Расчет сложного равновесия сводится к решению систем нелинейных алгебраических уравнений.

Алгоритм решения системы методом простой итерации напоминает метод Гаусса – Зайделя, используемый для решения линейных систем.

Более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации, обладает метод Ньютона. В основе его лежит использование разложение функций F 1 (x 1 , x 2 , … x n) в ряд Тейлора. При этом члены, содержащие вторые производные, отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы, полученные на предыдущей итерации, равны а 1 , а 2 , …а n . Задача состоит в том, чтобы найти приращения к этим значениям Δх 1 , Δх 2 , … Δх n , благодаря которым будут получены новые значения неизвестных:

х 1 = а 1 + Δх 1

х 2 = а 2 + Δх 2

х n = а n + Δх n .

Разложим левые части уравнений в ряд Тейлора, ограничиваясь линейными членами:

Так как левые части уравнений должны быть равны нулю, то приравняем нулю и правые части. Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений Δх.

Значения F 1 , F 2 , … F n и их частные производные вычисляются при x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , … x n = a n .

Запишем эту систему в виде матрицы:

Определитель матрицы G такого вида называется якобианом. Определитель такой матрицы называется Якобианом. Для существования единственного решения системы он должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, решение системы уравнений методом Ньютона заключается в определении на каждой итерации матрицы Якоби (частных производных) и определении приращений Δх 1 , Δх 2 , … Δх n к значениям неизвестных на каждой итерации путем решения системы линейных алгебраических уравнений.

Для исключения необходимости нахождения матрицы Якоби на каждой итерации предложен усовершенствованный метод Ньютона. Этот метод позволяет проводить коррекцию матрицы Якоби, используя значения F 1 , F 2 , … , F n , полученные на предыдущих итерациях.

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,

где $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ -- искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ -- заданные действительные числа представим в матричной записи:

1. матрица искомых функций $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} \left(x\right)} \\ {y_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y_{n} \left(x\right)} \end{array}\right)$;
2. матрица производных решений $\frac{dY}{dx} =\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} } \end{array}\right)$;
3. матрица коэффициентов СОДУ $A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right)$.

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac{dY}{dx} =A\cdot Y$.

Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами

Пусть имеется матрица некоторых чисел $\alpha =\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.

Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_{1} =\alpha _{1} \cdot e^{k\cdot x} $, $y_{2} =\alpha _{2} \cdot e^{k\cdot x} $, \dots , $y_{n} =\alpha _{n} \cdot e^{k\cdot x} $. В матричной форме: $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=e^{k\cdot x} \cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.

Отсюда получаем:

Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.

Число $k$ можно определить из уравнения$\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right|=0$.

Это уравнение называется характеристическим.

Пусть все корни $k_{1} ,k_{2} ,\ldots ,k_{n} $ характеристического уравнения различны. Для каждого значения $k_{i} $ из системы $\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)=0$ может быть определена матрица значений $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(i\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(i\right)} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(i\right)} } \end{array}\right)$.

Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.

Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:

$\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{k_{1} \cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{k_{2} \cdot x} } \\ {\ldots } \\ {C_{n} \cdot e^{k_{n} \cdot x} } \end{array}\right)$,

где $C_{i} $ -- произвольные постоянные.

Задача

Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =5\cdot y_{1} +4y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +5\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.

Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)$.

В матричной форме данная СОДУ записывается так: $\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dt} } \\ {\frac{dy_{2} }{dt} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)$.

Получаем характеристическое уравнение:

$\left|\begin{array}{cc} {5-k} & {4} \\ {4} & {5-k} \end{array}\right|=0$, то есть $k^{2} -10\cdot k+9=0$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1} =1$, $k_{2} =9$.

Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{1} =1$:

\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{1} } & {4} \\ {4} & {5-k_{1} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)=0,\]

то есть $\left(5-1\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +\left(5-1\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$.

Положив $\alpha _{1}^{\left(1\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(1\right)} =-1$.

Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{2} =9$:

\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{2} } & {4} \\ {4} & {5-k_{2} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)=0, \]

то есть $\left(5-9\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +\left(5-9\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$.

Положив $\alpha _{1}^{\left(2\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(2\right)} =1$.

Получаем решение СОДУ в матричной форме:

\[\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{1\cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right).\]

В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {y_{1} =C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \\ {y_{2} =-C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right. $.

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений. В частности, к таким системам приводят задачи, в которых изучается движение тел в пространстве под действием заданных сил.

Пусть, например, по некоторой кривой (L) в пространстве под действием силы F движется материальная точка массы . Требуется определить закон движения точки, т. е. зависимость координат точки от времени.

Допустим, что

радиус-вектор движущейся точки. Если переменные координаты точки обозначить через , то

Скорость и ускорение движущейся точки вычисляется по формулам:

(см. гл. VI, § 5, n. 4).

Сила F, под действием которой движется точка, вообще говоря, является функцией времени, координат точки и проекций скорости на оси координат:

На основании второго закона Ньютона уравнение движения точки записывается следующим образом:

Проектируя векторы, стоящие в левой и правой частях этого равенства, на оси координат, получим три дифференциальных уравнения движения:

Эти дифференциальные уравнения представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех искомых функций:

В дальнейшем мы ограничимся изучением только системы уравнений первого порядка специального вида относительно искомых функций . Эта система имеет вид

Система уравнений (95) называется системой в нормальной форме, или нормальной системой.

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.

Решением системы (95) называется совокупность функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Системы уравнений второго, третьего и более высоких порядков можно свести к нормальной системе, если ввести новые искомые функции. Так, например, систему (94) можно преобразовать в нормальную форму следующим образом. Введем новые функции положив . Тогда и скстема Уравнении (94) запишется следующим образом:

Система (96) является нормальной.

Рассмотрим, например, нормальную систему из трех уравнений с тремя неизвестными функциями :

Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть правые части уравнений системы (97), т. е. функции непрерывны по всем переменным в некоторой области G и имеют в ней непрерывные частные производные Тогда каковы бы ни были значения принадлежащие области G, существует единственное решение системы удовлетворяющее начальным условиям:

Для интегрирования системы (97) можно применить метод, с помощью которого данная система, содержащая три уравнения относительно трех искомых функций, сводится к одному уравнению третьего порядка относительно одной неизвестной функции. Покажем на примере применение этого метода.

Для - простоты ограничимся системой из двух уравнений. Пусть дана система уравнений

Для нахождения решения системы поступаем следующим образом. Дифференцируя первое из уравнений системы по находим

Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы, получим

Заменяя, наконец, функцию у ее выражением из первого уравнения системы

получим линейное однородное уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции:

Интегрируя это уравнение, находим его общее решение

Дифференцируя равенство находим

Подставляя выражения для x и в равенство и приводя подобные члены, получим

являются решением данной системы.

Итак, интегрируя нормальную систему двух дифференциальных уравнений, мы получили ее решение, зависящее от двух произвольных постоянных Можно показать, что и в общем случае для нормальной системы, состоящей из уравнений, ее общее решение будет зависеть от произвольных постоянных.

Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x (t) и y (t) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x (t) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) · d y d t + (a 1 · b 2 - a 2 · b 1) · y = a 2 · c 1 - a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x (t) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y (t) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x (t) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Пример 1

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Решение

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x:

x = d y d t - 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y (t) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y ~ = A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x (t) :
d (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) d t = x + 2 · (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) - 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Ответ: x (t) = - C 1 · e t + 1 y (t) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Системы дифференциальных уравнений бывают двух основных типов - линейные однородные и неоднородные. Решать системы дифференциальных уравнений можно также двумя основными способами решения:

1. Метод исключения, суть которого в том, что в процессе решения система дифуравнений сводится всего лишь к одному дифференциальному уравнению.
2. При помощи характеристического уравнения или метод Эйлера.

В основном системы дифференциальных уравнений решаются первым способом.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшую однородную систему дифференциальных уравнений можно представить в следующем виде:

Где k, l, m, n – это обыкновенные числа, x(t) и y(t) – неизвестные функции. Переменная t играет роль независимой переменной (в обычном дифференциальном уравнении на ее месте обычно встречается х).

И – первые производные неизвестных функций x(t) и y(t) соответственно.

Решить систему дифференциальных уравнений - означает определить такие функции x(t) и y(t), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Как видно, все очень похоже на обычные системы линейных уравнений, разница лишь в том, что там корни уравнения - это числа, а здесь – функции.

Ответ запишем в виде общего решения системы дифуравнений:

Можно записать систему более компактно:

Самым распространенным является вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, где приняты следующие обозначения:

И – производные 1-го порядка;

И – производные 2-го порядка.

Требуется найти решение задачи Коши для системы дифуравнений при начальных условиях x(0) = 3, y(0) = 0.

При решении будем использовать метод исключения.

Возьмем второе уравнение системы и выразим из него х:

, знак * мы используем для быстрого поиска этого уравнения, т.к. оно нам понадобится в дальнейшем.

Продифференцируем обе части полученного уравнения по t:

По-другому это выглядит следующим образом:

Подставляем и в первое уравнение системы :

Максимально упростим это уравнение:

Как видите, мы получили обыкновенное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. С производными оно выглядит следующим образом:

.

– мы получили различные действительные корни, поэтому:

.

Одна функция найдена. Теперь приступим к поиску x(t).

Найдем производную найденной функции .

Дифференцируем по t:

Теперь подставим и в уравнение (*):

Упростим полученное уравнение:

Итак, мы нашли обе функции.

Общее решение системы будет:

Теперь займемся поиском частного решения, соответствующего начальным условиям x(0) = 3 и y(0) = 0. Для этого почленно вычитаем из первого уравнения второе.

Подставим найденные коэффициенты:

Это и будет частное решение системы.

Остается провести проверку найденного результата:

Проверим выполнение начальных условий x(0) = 3 и y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

Проверка прошла успешно.

Проверим найденный ответ на удовлетворение первому уравнению системы

Возьмем функцию и найдем её производную.