Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу

С помощью которого моделируются многие реальные процессы. И самый такой распространённый пример – это график движения общественного транспорта. Предположим, что некий автобус (троллейбус / трамвай) ходит с интервалом в 10 минут, и вы в случайный момент времени подошли к остановке. Какова вероятность того, что автобус подойдёт в течение 1 минуты? Очевидно, 1/10-я. А вероятность того, что придётся ждать 4-5 минут? Тоже . А вероятность того, что автобус придётся ждать более 9 минут? Одна десятая!

Рассмотрим некоторый конечный промежуток, пусть для определённости это будет отрезок . Если случайная величина обладает постоянной плотностью распределения вероятностей на данном отрезке и нулевой плотностью вне него, то говорят, что она распределена равномерно . При этом функция плотности будет строго определённой:

И в самом деле, если длина отрезка (см. чертёж) составляет , то значение неизбежно равно – дабы получилась единичная площадь прямоугольника, и было соблюдено известное свойство :


Проверим его формально:
, ч.т.п. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка …, эх, становлюсь потихоньку занудным старикашкой =)

Суть равномерности состоит в том, что какой бы внутренний промежуток фиксированной длины мы ни рассмотрели (вспоминаем «автобусные» минуты) – вероятность того, что случайная величина примет значение из этого промежутка будет одной и той же. На чертеже я заштриховал троечку таких вероятностей – ещё раз заостряю внимание, что они определяются площадями , а не значениями функции !

Рассмотрим типовое задание:

Пример 1

Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти константу , вычислить и составить функцию распределения. Построить графики . Найти

Иными словами, всё, о чём только можно было мечтать:)

Решение : так как на интервале (конечном промежутке) , то случайная величина имеет равномерное распределение, и значение «цэ» можно отыскать по прямой формуле . Но лучше общим способом – с помощью свойства:

…почему лучше? Чтобы не было лишних вопросов;)

Таким образом, функция плотности:

Выполним чертёж. Значения невозможны , и поэтому жирные точки ставятся внизу:


В качестве экспресс-проверки вычислим площадь прямоугольника:
, ч.т.п.

Найдём математическое ожидание , и, наверное, вы уже догадываетесь, чему оно равно. Вспоминаем «10-минутный» автобус: если случайным образом подходить к остановке много-много дней упаси, то в среднем его придётся ждать 5 минут.

Да, именно так – матожидание должно находиться ровно посерединке «событийного» промежутка:
, как и предполагалось.

Дисперсию вычислим по формуле . И вот тут нужен глаз да глаз при вычислении интеграла:

Таким образом, дисперсия :

Составим функцию распределения . Здесь ничего нового:

1) если , то и ;

2) если , то и:

3) и, наконец, при , поэтому:

В результате:

Выполним чертёж:


На «живом» промежутке функция распределения растёт линейно , и это ещё один признак, что перед нами равномерно распределённая случайная величина. Ну, ещё бы, ведь производная линейной функции – есть константа.

Требуемую вероятность можно вычислить двумя способами, с помощью найденной функции распределения:

либо с помощью определённого интеграла от плотности:

Кому как нравится.

И здесь ещё можно записать ответ : ,
, графики построены по ходу решения.

…«можно», потому что за его отсутствие обычно не карают. Обычно;)

Для вычисления и равномерной случайной величины существуют специальные формулы, которые я предлагаю вам вывести самостоятельно:

Пример 2

Непрерывная случайная величина задана плотностью .

Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Результаты максимально упростить (формулы сокращённого умножения в помощь) .

Полученные формулы удобно использовать для проверки, в частности, проверьте только что прорешанную задачу, подставив в них конкретные значения «а» и «б». Краткое решение внизу страницы.

И в заключение урока мы разберём парочку «текстовых» задач:

Пример 3

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Считая, что погрешности округлений распределены равномерно, найти вероятность того, что при очередном измерении она не превзойдёт 0,04.

Для лучшего понимания решения представим, что это какой-нибудь механический прибор со стрелкой, например, весы с ценой деления 0,2 кг, и нам предстоит взвесить кота в мешке. Но не в целях выяснить его упитанность – сейчас будет важно, ГДЕ между двумя соседними делениями остановится стрелка.

Рассмотрим случайную величину – расстояние стрелки от ближайшего левого деления. Или от ближайшего правого, это не принципиально.

Составим функцию плотности распределения вероятностей:

1) Так как расстояние не может быть отрицательным, то на интервале . Логично.

2) Из условия следует, что стрелка весов с равной вероятностью может остановиться в любом месте между делениями* , включая сами деления, и поэтому на промежутке :

* Это существенное условие. Так, например, при взвешивании кусков ваты или килограммовых пачек соли равномерность будет соблюдаться на куда более узких промежутках.

3) И поскольку расстояние от БЛИЖАЙШЕГО левого деления не может быть больше, чем 0,2, то при тоже равна нулю.

Таким образом:

Следует отметить, что о функции плотности нас никто не спрашивал, и её полное построения я привёл исключительно в познавательных цепях. При чистовом оформлении задачи достаточно записать только 2-й пункт.

Теперь ответим на вопрос задачи. Когда погрешность округления до ближайшего деления не превзойдёт 0,04? Это произойдёт тогда, когда стрелка остановится не далее чем на 0,04 от левого деления справа или не далее чем на 0,04 от правого деления слева . На чертеже я заштриховал соответствующие площади:

Осталось найти эти площади с помощью интегралов . В принципе, их можно вычислить и «по-школьному» (как площади прямоугольников), но простота не всегда находит понимание;)

По теореме сложения вероятностей несовместных событий :

– вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,04 (40 грамм для нашего примера)

Легко видеть, что максимально возможная погрешность округления составляет 0,1 (100 грамм) и поэтому вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,1 равна единице.

Ответ : 0,4

В других источниках информации встречаются альтернативные объяснения / оформление этой задачи, и я выбрал вариант, который показался мне наиболее понятным. Особое внимание нужно обратить на то, что в условии речь может идти о погрешностях НЕ округлений, а о случайных погрешностях измерений, которые, как правило (но не всегда) , распределены по нормальному закону . Таким образом, всего лишь одно слово может в корне изменить решение! Будьте начеку и вникайте в смысл.

И коль скоро всё идёт по кругу, то ноги нас приносят на ту же автобусную остановку:

Пример 4

Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию и интервалом 7 минут. Составить функцию плотности случайной величины – времени ожидании очередного автобуса пассажиром, который наудачу подошёл к остановке. Найти вероятность того, что он будет ждать автобус не более трёх минут. Найти функцию распределения и пояснить её содержательный смысл.

Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

• равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.

Показатель	Раномерный закон распределения	Показательный закон распределения
Определение	Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке и имеет вид	Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид
		где λ – постоянная положительная величина
Функция распределения
Вероятность попадания в интервал
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»

Задача 1.

Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.

Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.

2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2 . М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3 . σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение , то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:

2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb .
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле: P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Находим для показательного распределения:

• математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
• дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Перейдем теперь к часто используемым на практике распределениям непрерывной случайной величины.

Непрерывная с.в. Х называется равномерно распределенной на отрезке [a , b ], если плотность ее вероятности постоянна на этом отрезке, а вне его равна 0 (т.е. случайная величина Х сосредоточена на отрезке [a , b ], на котором имеет постоянную плотность). По данному определению плотность равномерно распределенной на отрезке [a , b ] случайной величины Х имеет вид:

где с есть некоторое число. Впрочем, его легко найти, используя свойство плотности вероятности для с.в., сосредоточенных на отрезке [a , b ]:
. Отсюда следует, что
, откуда
. Поэтомуплотность равномерно распределенной на отрезке [a , b ] случайной величины Х имеет вид:

.

Судить о равномерности распределения н.с.в. Х можно из следующего соображения. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a , b ], если она принимает значения только из этого отрезка, и любое число из этого отрезка не имеет преимущества перед другими числами этого отрезка в смысле возможности быть значением этой случайной величины.

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение относятся такие величины, как время ожидания транспорта на остановке (при постоянном интервале движения длительность ожидания равномерно распределена на этом интервале), ошибка округления числа до целого (равномерно распределена на [−0.5, 0.5 ]) и другие.

Вид функции распределения F (x ) a , b ] случайной величины Х ищется по известной плотности вероятности f (x ) c помощью формулы их связи
. В результате соответствующих вычислений получаем следующую формулу для функции распределенияF (x ) равномерно распределенной отрезке [a , b ] случайной величины Х :

.

На рисунках приведены графики плотности вероятности f (x ) и функции распределения f (x ) равномерно распределенной отрезке [a , b ] случайной величины Х :

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана равномерно распределенной отрезке [a , b ] случайной величины Х вычисляются по плотности вероятности f (x ) обычным образом (и достаточно просто из-за простого вида f (x ) ). В результате получаются следующие формулы:

а модой d (X ) является любое число отрезка [a , b ].

Найдем вероятность попадания равномерно распределенной отрезке [a , b ] случайной величины Х в интервал
, полностью лежащий внутри [a , b ]. Учитывая известный вид функции распределения, получаем:

Таким образом, вероятность попадания равномерно распределенной отрезке [a , b ] случайной величины Х в интервал
, полностью лежащий внутри [a , b ], не зависит от положения этого интервала, а зависит только от его длины и прямо пропорциональна этой длине.

Пример . Интервал движения автобуса составляет 10 минут. Какова вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, прождет автобус менее 3 минут? Каково среднее время ожидания автобуса?

Нормальное распределение

Это распределение наиболее часто встречается на практике и играет исключительную роль в теории вероятностей и математической статистике и их приложениях, поскольку такое распределение имеют очень многие случайные величины в естествознании, экономике, психологии, социологии, военных науках и так далее. Данное распределение является предельным законом, к которому приближаются (при определенных естественных условиях) многие другие законы распределения. С помощью нормального закона распределения описываются также явления, подверженные действию многих независимых случайных факторов любой природы и любого закона их распределения. Перейдем к определениям.

Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (или закону Гаусса) , если ее плотность вероятности имеет вид:

,

где числа а и σ (σ>0 ) являются параметрами этого распределения.

Как уже было сказано, закон Гаусса распределения случайных величин имеет многочисленные приложения. По этому закону распределены ошибки измерений приборами, отклонение от центра мишени при стрельбе, размеры изготовленных деталей, вес и рост людей, годовое количество осадков, количество новорожденных и многое другое.

Приведенная формула плотности вероятности нормально распределенной случайной величины содержит, как было сказано, два параметра а и σ , а потому задает семейство функций, меняющихся в зависимости от значений этих параметров. Если применить обычные методы математического анализа исследования функций и построения графиков к плотности вероятности нормального распределения, то можно сделать следующие выводы.

являются точками его перегиба.

Исходя из полученной информации, строим график плотности вероятности f (x ) нормального распределения (он называется кривой Гаусса − рисунок).

Выясним, как влияет изменение параметров а и σ на форму кривой Гаусса. Очевидно (это видно из формулы для плотности нормального распределения), что изменение параметра а не меняет форму кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вправо или влево вдоль оси х . Зависимость от σ сложнее. Из проведенного выше исследования видно, как зависит величина максимуму и координаты точек перегиба от параметра σ . К тому же надо учесть, что при любых параметрах а и σ площадь под кривой Гаусса остается равной 1 (это общее свойство плотности вероятности). Из сказанного следует, что с ростом параметра σ кривая становится более пологой и вытягивается вдоль оси х . На рисунке изображены кривые Гаусса при различных значениях параметра σ (σ 1 < σ< σ 2 ) и одном и том же значении параметра а .

Выясним вероятностный смысл параметров а и σ нормального распределения. Уже из симметричности кривой Гаусса относительно вертикальной прямой, проходящей через число а на оси х понятно, что среднее значение (т.е. математическое ожидание М(Х) ) нормально распределенной случайной величины равно а . Из этих же соображений мода и медиана тоже должны быть равны числу а. Точные расчеты по соответствующим формулам это подтверждают. Если же мы выписанное выше выражение для f (x ) подставим в формулу для дисперсии
, то после (достаточно непростого) вычисления интеграла получим в ответе числоσ 2 . Таким образом, для случайной величины Х , распределенной по нормальному закону, получились следующие основные ее числовые характеристики:

Поэтому вероятностный смысл параметров нормального распределения а и σ следующий. Если с.в. Х а и σ а σ.

Найдем теперь функцию распределения F (x ) для случайной величины Х , распределенной по нормальному закону, используя выписанное выше выражение для плотности вероятности f (x ) и формулу
. При подстановкеf (x ) получается «неберущийся» интеграл. Все, что удается сделать для упрощения выражения для F (x ), это представление этой функции в виде:

,

где Ф(х) − так называемая функция Лапласа , которая имеет вид

.

Интеграл, через который выражается функция Лапласа, тоже является неберущимися (но при каждом х этот интеграл может быть вычислен приближенно с любой наперед заданной точностью). Однако вычислять его и не потребуется, так как в конце любого учебника по теории вероятностей есть таблица для определения значений функции Ф(х) при заданном значении х . В дальнейшем нам понадобится свойство нечетности функции Лапласа: Ф(−х)= −Ф(х) для всех чисел х .

Найдем теперь вероятность того, что нормально распределенная с.в. Х примет значение из заданного числового интервала (α, β) . Из общих свойств функции распределения Р(α< X < β)= F (β) − F (α) . Подставляя α и β в выписанное выше выражение для F (x ) , получим

.

Как сказано выше, если с.в. Х распределена нормально с параметрами а и σ , то ее среднее значение равно а , а среднее квадратическое отклонение равно σ. Поэтому среднее отклонение значений этой с.в. при испытании от числа а равно σ. Но это среднее отклонение. Поэтому возможны и бо´льшие отклонения. Узнаем, насколько возможны те или иные отклонения от среднего значения. Найдем вероятность того, что значение распределенной по нормальному закону случайной величины Х отклониться от ее среднего значения М(Х)=а менее, чем на некоторое число δ, т.е. Р (| X − a |<δ ) : . Таким образом,

.

Подставляя в это равенство δ=3σ , получим вероятность того, что значение с.в. Х (при одном испытании) отклонится от среднего значения менее чем на утроенное значение σ (при среднем отклонении, как мы помним, равном σ ): (значениеФ(3) взято из таблицы значений функции Лапласа). Это почти 1 ! Тогда вероятность противоположного события (что значение отклонится не менее, чем на 3σ ) равна 1 −0.997=0.003 , что очень близко к 0 . Поэтому это событие «почти невозможно» − случается крайне редко (в среднем 3 раза из 1000 ). Это рассуждение является обоснованием широко известного «правила трех сигм».

Правило трех сигм . Нормально распределенная случайная величина при единичном испытании практически не отклоняется от своего среднего далее, чем на 3σ .

Еще раз подчеркнем, что речь идет об одном испытании. Если испытаний случайной величины много, то вполне возможно, что какое-либо ее значение и удалится от среднего далее, чем 3σ . Это подтверждает следующий

Пример . Какова вероятность, что при 100 испытаниях нормально распределенной случайной величины Х хотя бы одно ее значение отклонится от среднего более, чем на утроенное среднее квадратическое отклонение? А при 1000 испытаниях?

Решение. Пусть событие А означает, что при испытании случайной величины Х ее значение отклонилось от среднего более, чем на 3σ. Как только что было выяснено, вероятность этого события р=Р(А)=0.003 . Проведено 100 таких испытаний. Надо узнать вероятность того, что событие А произошло хотя бы раз, т.е. произошло от 1 до 100 раз. Это типичная задача схемы Бернулли с параметрами n =100 (число независимых испытаний), р=0.003 (вероятность события А в одном испытании), q =1− p =0.997 . Требуется найти Р 100 (1≤ k ≤100) . В данном случае, конечно, проще найти сначала вероятность противоположного события Р 100 (0) − вероятность того, что событие А не произошло ни разу (т.е. произошло 0 раз) . Учитывая связь вероятностей самого события и ему противоположного, получим:

Не так уж мало. Вполне может произойти (происходит в среднем в каждой четвертой такой серии испытаний). При 1000 испытаний по такой же схеме можно получить, что вероятность хотя бы одного отклонения далее, чем на 3σ , равно: . Так что можно с большой уверенностью дождаться хотя бы одного такого отклонения.

Пример . Рост мужчин определенной возрастной группы распределен нормально с математическим ожиданием a , и среднеквадратическим отклонением σ . Какую долю костюмов k -го роста следует предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы, если k -ый рост определяется следующими пределами:

1 рост: 158 − 164см 2 рост: 164 − 170см 3 рост: 170 − 176см 4 рост: 176 − 182см

Решение. Решим задачу при следующих значениях параметров: а=178, σ=6, k =3 . Пусть с.в. Х − рост случайно выбранного мужчины (она распределена по условию нормально с заданными параметрами). Найдем вероятность того, что наугад выбранному мужчине понадобится 3 -й рост. Пользуясь нечетностью функции Лапласа Ф(х) и таблицей ее значений: P(170 Поэтому в общем объеме производства надо предусмотреть 0.2789*100%=27.89% костюмов 3 -го роста.

Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.

Равномерно распределенная на отрезке случайная величина имеет :

Сгенерируем массив из 50 чисел из диапазона }